银行卡遭遇境外盗刷的，当事人应该打电话给银行卡的发卡行，要求止付，并录音保存证据。然后到公安机关报案，并向公安机关索要报警回执。盗刷他人银行卡的属于盗窃罪。
法律依据：《刑法》第二百六十四条盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
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